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试题详情

如题(21)图,设椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上,的面积为.

(1)求该椭圆的标准方程;

(2)设圆心在轴上的圆与椭圆在轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.。

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试题答案

(1)椭圆的标准方程为+y2=1

(2)圆C的半径=

试题解析

(1)设F1(﹣c,0),F2(c,0),其中c2=a2﹣b2

=2,得|DF1|==c,

从而=|DF1||F1F2|=c2=,故c=1。

从而|DF1|=,由DF1⊥F1F2,得=+=

因此|DF2|=

所以2a=|DF1|+|DF2|=2,故a=,b2=a2﹣c2=1,

因此,所求椭圆的标准方程为+y2=1;

(2)设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,

y1>0,y2>0,F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2,由圆和椭圆的对称性,易知x2=﹣x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|,

由(1)知F1(﹣1,0),F2(1,0),所以=(x1+1,y1),=(﹣x1﹣1,y1),再由F1P1⊥F2P2,得﹣+=0,

由椭圆方程得1﹣=,即3+4x1=0,解得x1=﹣或x1=0。

当x1=0时,P1,P2重合,此时题设要求的圆不存在;

当x1=﹣时,过P1,P2,分别与F1P1,F2P2垂直的直线的交点即为圆心C。

由F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2,知CP1⊥CP2,又|CP1|=|CP2|,

故圆C的半径|CP1|=|P1P2|=|x1|=

少年,再来一题如何?
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