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试题详情

如图5,在直棱柱

(1)证明:

(2)求直线所成角的正弦值。

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试题答案

见解析

试题解析

1(1)

如图,因为,所以. 又,所以. 而,所以.

(2I)因为,所以直线所成角等于直线AD与平面所成角(记为)。

连结,因为棱柱是直棱柱,且,所以,从而,又,所以四边形为正方形,于是,故,于是

由(I)可知:,所以,故

在直角梯形ABCD中,因为,所以,从而,故,即 从而易得

,即. 连

中,. 得

即直线所成角的正弦值为

解法2. (I)

易知AB,AD,两两垂直,如图,以点A为坐标原点,AB,AD,所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系。 设AB=t ,则相关各点坐标为

.

从而.

因为,所以,解得(舍去)

于是,又因为

,所以,即.

(2)由(I)知

. 设是平面的一个法向量,则

,即令x=1,得

设直线所成角为,则

=.

即直线所成角的正弦值为

少年,再来一题如何?
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