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试题详情

如图,在五棱锥P—ABCDE中,PA⊥平面ABCDE,AB∥CD,AC∥ED,AE∥BC,∠ABC=45

,AB=2,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三角形。

(1)求证:平面PCD⊥平面PAC;

(2)求直线PB与平面PCD所成角的大小;

(3)求四棱锥P—ACDE的体积。

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试题答案

见解析。

试题解析

(1) 证明 :在中,因为

所以 

因此 ,故所以

又  所以

又 

所以 

所以 

(2)解法一:

因为  三角形是等腰三角形,

所以 

因此 

又 

所以点B到平面的距离等于点A到平面的距离。

由于,在中,

所以 

故  边上的高为2,此即为点A到平面的距离。

所以B到平面平面的距离为

设直线与平面所成的角为

所以 

解法二:

由(1)知两两垂直,分别以轴建立空间直角坐标系,由于三角形是等腰三角形,所以 

因此 

因为 

所以  四边形是个直角梯形,

因为 

所以 

因此 

故 

所以 

因此 

是平面的一个法向量,

则 

解得 

,得

表示向量与平面的法向量所成的角,

则 

所以 

因此直线PB与平面PCD所成角为

(3)因为

所以  四边形四边形是个直角梯形,

因为 

所以 

因此 

故 

所以 

又 

所以  四棱锥P—ACDE的体积

少年,再来一题如何?
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