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试题详情

如图,在四棱锥中,平面的中点。

(1)证明:平面

(2)若直线与平面所成的角和与平面所成的;角相等,求四棱锥的体积。

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试题答案

见解析

试题解析

解法1:(1)如图(1),连接AC,由AB=4,

E是CD的中点,所以

所以

内的两条相交直线,所以CD⊥平面PAE.

(2)过点B作

由(1)CD⊥平面PAE知,BG⊥平面PAE.于是为直线PB与平面PAE

所成的角,且.

知,为直线与平面所成的角.:

由题意,知

因为所以

所以四边形是平行四边形,故于是

中,所以

于是

又梯形的面积为所以四棱锥的体积为

解法2:如图(2),以A为坐标原点,所在直线分别为建立空间直角坐标系.设则相关的各点坐标为:

(1)易知因为

所以是平面内的两条相交直线,所以

(2)由题设和(1)知,分别是的法向量,而PB与

所成的角和PB与所成的角相等,所以

由(1)知,

解得.

又梯形ABCD的面积为,所以四棱锥的体积为

.

少年,再来一题如何?
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