↑ 收起筛选 ↑

试题详情

如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,∠ACB=∠ACD=,F为PC的中点,AF⊥PB。

(1)求PA的长;

(2)求二面角B-AF-D的正弦值。

已帮助 183 人解答此问题

试题答案

(1) ; (2)

试题解析

(1)

如图,连接BD交AC于O,因为BC=CD,即△BCD为等腰三角形,又AC平分∠BCD,故AC⊥BD。以O为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz,则OC=CD=1,而AC=4,得AO=AC-OC=3,又OD=CD,故A(0,-3,0),B(,0,0),C(0,1,0),D(,0,0)。

因PA⊥底面ABCD,可设P(0,-3,z),由F为PC边中点,F.

=(,3,-z),

因AF⊥PB,故·=0,

即6-=0,(舍去),

所以||=.

(2)由(1)知=(,3,0),=(,3,0),=(0,2,),设平面FAD的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面FAB的法向量为n2=(x2,y2,z2),

n1·=0,n1·=0,得

因此可取n1=(3,,-2)。

n2·=0,n2·=0,

故可取n2=(3,,2)。

从而法向量n1n2的夹角的余弦值为

cos〈n1n2〉=

故二面角B-AF-D的正弦值为

少年,再来一题如何?
相关试题