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试题详情

如图,四边形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=3,BC=2AB=2,E,F分别在BC,AD上,EF∥AB.现将四边形ABEF沿EF折起,使平面ABEF⊥平面EFDC.

20.若,在折叠后的线段上是否存在一点,且

使得∥平面ABEF?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由;

21.求三棱锥A-CDF的体积的最大值,并求此时二面角E-AC-F的余弦值.

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试题答案

(1)

(2)

试题解析

(Ⅰ)因为平面平面,平面∩平面,

所以平面,又平面,

所以

在折起过程中,,同时

所以平面

为坐标原点,分别以所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

时,则各点坐标如下:, , .

可得平面的法向量

因为,所以

所以,

.

,解得.

所以线段上存在一点,且,使得∥平面ABEF.

(Ⅱ)设,所以,

所以

所以当时,有最大值,且最大值为.

可得, , .

所以,,,.

设平面的一个法向量为,

,即.

,则,

设平面的一个法向量为,

,即

同理可得

所以

所以二面角E﹣AC﹣F的余弦值为.

少年,再来一题如何?
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