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试题详情

16.多面体ABCDEF(如图甲)的俯视图如图乙,己知面ADE为正三角形

(1)求多面体ABCDEF的体积;

(2)求二面角A-BF-C的余弦值.

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试题答案

(1)

(2)

试题解析

本题属于立体几何中的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难.

(1)分别取AB、CD的中点M、N,连接EM、EN、MN,多面体体积转化为棱柱AED-MFN的体积V1与四棱锥F-MBCN的体积V2之和。由三视图可知,AD=2,AM=DN=1,面ADE为正三角形且垂直于底面ABCD,知F点到底面的距离为。所以V=V1+V2=+/3=.

(2)取MN的中点O,BC的中点P,以OM为x轴,OP为y轴,OF为z轴建立坐标系,易知A(1,-1,0),B(1,1,0),F(0,0, ),C(-1,1,0),则设面ABF的法向量,可得面ABF的一个法向量同理。设二面角A-BF-C的平面角为θ,

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