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试题详情

如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D为AB的中点

(1)求点C到平面A1ABB1的距离;

(2)若AB1⊥A1C,求二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值。

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试题答案

见解析

试题解析

(1)由AC=BC,D为AB的中点,得CD⊥AB,又CD⊥AA1

故CD⊥平面A1ABB1

所以点C到平面A1ABB1的距离为CD==

(2)解法一:如图1,取D1为A1B1的中点,连接DD1,则DD1∥AA1∥CC1

又由(1)知CD⊥平面A1ABB1,故CD⊥A1D,CD⊥D1D,所以∠A1DD1为所求的二面角A1﹣CD﹣C1的平面角,因A1D为A1C在面A1ABB1中的射影,又已知AB1⊥A1C由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D,从而∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB互余,因此∠A1AB1=∠A1DA,所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A,因此AA1:AD=A1B1:AA1,即AA12=AD•A1B1=8,得AA1=2,从而A1D==2,所以Rt△A1D1D中,cos∠A1DD1===

解法二:如图2,过D作DD1∥AA1交A1B1于D1,在直三棱柱中,有DB,DC,DD1两两垂直,以D为原点,射线DB,DC,DD1分别为X轴、Y轴、Z轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz。

设直三棱柱的高为h,则A(﹣2,0,0),A1(﹣2,0,h),B1(2,0,h),C(0,,0),C1(0,,h),从而=(4,0,h),=(2,,﹣h)

由AB1⊥A1C,可得8﹣h2=0,h=2,故=(﹣2,0,2),=(0,0,2),=(0,,0)

设平面A1CD的法向量为=(x1,y1,z1),则有

=0且=0,即,取z1=1,则=(,0,1)

设平面C1CD的法向量为=(x2,y2,z2),则,即=0,取x2=1,得=(1,0,0),

所以cos<>===,所以二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值

少年,再来一题如何?
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