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试题详情

已知点是平面直角坐标系上的一个动点,点到直线的距离等于点到点的距离的2倍,记动点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程;

(2)斜率为的直线与曲线交于两个不同点,若直线不过点,设直线的斜率分别为,求的数值;

(3)试问:是否存在一个定圆,与以动点为圆心,以为半径的圆相内切?若存在,求出这个定圆的方程;若不存在,说明理由。

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试题答案

见解析

试题解析

(1)由题知,有.

化简,得曲线的方程:

(2)∵直线的斜率为,且不过点,

∴可设直线

联立方程组

又交点为

(3)答:一定存在满足题意的定圆.

理由:∵动圆与定圆相内切,

∴两圆的圆心之间距离与其中一个圆的半径之和或差必为定值.

恰好是曲线(椭圆)的右焦点,且是曲线上的动点,

记曲线的左焦点为,联想椭圆轨迹定义,有

∴若定圆的圆心与点重合,定圆的半径为4时,则定圆满足题意.

∴定圆的方程为:.

少年,再来一题如何?
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