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试题详情

已知点的坐标分别为.直线相交于点,且它们的斜率之积是,记动点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程;

(2)设是曲线上的动点,直线分别交直线于点,线段的中点为,求直线与直线的斜率之积的取值范围;

(3)在(2)的条件下,记直线的交点为,试探究点与曲线的位置关系,并说明理由。

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试题答案

见解析。

试题解析

(1)设动点,则()

所以曲线的方程为().

(2)法一:设,则直线的方程为,令,则得,直线的方程为

,则得

=

,∴

∵  ,∴

∴,

∴直线与直线的斜率之积的取值范围为

法二:设直线的斜率为,则由题可得直线的斜率为

所以直线的方程为,令,则得

直线的方程为,令,则得

∴直线与直线的斜率之积的取值范围为

(3)法一:由(2)得

则直线的方程为,直线的方程为,…12分

,解得

∴  点在曲线上.

法二:由(2)得

∴   ,

∴  点在曲线上。

法三:由(2)得,

∴   ,

  ∴  点在曲线上.

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