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试题详情

设双曲线C:(a>0,b>0)的一个焦点坐标为(,0),离心率, A、B是双曲线上的两点,AB的中点M(1,2)。

(1)求双曲线C的方程;

(2)求直线AB方程;

(3)如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点,那么A、B、C、D四点是否共圆?为什么?

已帮助 158 人解答此问题

试题答案

见解析。

试题解析

(1)依题意得,解得a=1.

所以

故双曲线C的方程为.

(2)设,则有 。

两式相减得: ,

由题意得

所以,即.

故直线AB的方程为.

(3)假设A、B、C、D四点共圆,且圆心为P. 因为AB为圆P的弦,所以圆心P在AB垂直平分线CD上;又CD为圆P的弦且垂直平分AB,故圆心P为CD中点M.

下面只需证CD的中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|即可。

得:A(-1,0),B(3,4).

由(1)得直线CD方程:

得:C(-3+,6-),D(-3-,6+),

所以CD的中点M(-3,6).

因为

所以

即 A、B、C、D四点在以点M(-3,6)为圆心,为半径的圆上.

少年,再来一题如何?
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