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试题详情

如图7,直线,抛物线,已知点在抛

物线上,且抛物线上的点到直线的距离的最小值为

(1)求直线及抛物线的方程;

(2)过点的任一直线(不经过点)与抛物线交于两点,直线与直线相交于点,记直线的斜率分别为,问:是否存在实数,使得?若存在,试求出的值;若不存在,请说明理由。

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试题答案

见解析。

试题解析

(1)(法一)在抛物线上,

设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为

 得

,得,则直线方程为

两直线间的距离即为抛物线上的点到直线的最短距离,

,解得(舍去)。

直线的方程为,抛物线的方程为

(法二)在抛物线上, ,抛物线的方程为。……2分

为抛物线上的任意一点,点到直线的距离为,根据图象,有

的最小值为,由,解得

因此,直线的方程为,抛物线的方程为

(2)直线的斜率存在,设直线的方程为,即

  得

设点的坐标分别为,则

.

 得

因此,存在实数,使得成立,且

少年,再来一题如何?
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