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试题详情

已知椭圆的长轴长是焦距的两倍,其左、右焦点依次为,抛物线的准线与轴交于,椭圆与抛物线的一个交点为.

(1)当时, ①求椭圆的方程;②直线过焦点,与抛物线交于两点,若弦长等于的周长,求直线的方程;

(2)是否存在实数,使得的边长为连续的自然数.

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试题答案

(1)(2)

试题解析

(1)①设椭圆的实半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为c,

=1时,由题意得,a=2c=2,,

所以椭圆的方程为.

②依题意知直线的斜率存在,设,由得,

,由直线与抛物线有两个交点,可知.

,由韦达定理得

=            

因为的周长为,所以,          

解得,从而可得直线的方程为        

(2)假设存在满足条件的实数,由题意得,又设,设,对于抛物线M,有对于椭圆C,由   

解得:,所以,从而,因此,的边长分别为

时,使得的边长为连续的自然数.     

少年,再来一题如何?
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