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试题详情

已知双曲线的中心为原点,左,右焦点分别为,离心率为,点是直线上任意一点,点在双曲线上,且满足

(1)求实数的值;

2)证明:直线与直线的斜率之积是定值;

(3)若点的纵坐标为,过点作动直线与双曲线右支交于不同两点,在线段上取异于点的点,满足,证明点恒在一条定直线上。

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试题答案

见解析。

试题解析

(1)解:设双曲线的半焦距为

由题意可得

解得

(2)证明:由(1)可知,直线,点,设点,

因为,所以

所以

因为点在双曲线上,所以,即

所以

所以直线与直线的斜率之积是定值

(3)证法1:设点,且过点的直线与双曲线的右支交于不同两点,由(2)知

,则

整理,得

由①×③,②×④得

代入⑥,得。    ⑦

将⑤代入⑦,得

所以点恒在定直线上。

证法2:依题意,直线的斜率存在。

设直线的方程为

消去

因为直线与双曲线的右支交于不同两点

则有

设点,由,得

整理得

将②③代入上式得

整理得。                             ④

因为点在直线上,所以,                ⑤

联立④⑤消去

所以点恒在定直线上。

少年,再来一题如何?
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