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试题详情

设f(x)=ln x+-1,证明:

(1)当x>1时,f(x)<(x-1);

(2)当1<x<3时,

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试题答案

见解析

试题解析

(1)证法一:记g(x)=ln x+-1-(x-1),则当x>1时,

又g(1)=0,有g(x)<0,即f(x)<(x-1)。

证法二:由均值不等式,当x>1时,<x+1,故

。①

令k(x)=ln x-x+1,则k(1)=0,k′(x)=-1<0。

故k(x)<0,即ln x<x-1。②

由①②得,当x>1时,f(x)<(x-1)。

(2)证法一:记h(x)=f(x)-

由(1)得

令g(x)=(x+5)3-216x。

则当1<x<3时,g′(x)=3(x+5)2-216<0,

因此g(x)在(1,3)内是递减函数。

又由g(1)=0,得g(x)<0,

所以h′(x)<0,

因此h(x)在(1,3)内是递减函数。

又h(1)=0,得h(x)<0。

于是当1<x<3时,

证法二:记h(x)=(x+5)f(x)-9(x-1),

则当1<x<3时,由(1)得

h′(x)=f(x)+(x+5)f′(x)-9

(x-1)+(x+5)()-9

[3x(x-1)+(x+5)(2+)-18x]

[3x(x-1)+(x+5)(2+)-18x]

(7x2-32x+25)<0,

因此h(x)在(1,3)内单调递减。

又h(1)=0,所以h(x)<0,即

少年,再来一题如何?
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