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试题详情

设数列{an}满足an+1=2an+n2﹣4n+1。

(1)若a1=3,求证:存在f(n)=an2+bn+c(a,b,c为常数),使数列{an+f(n)}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式;

(2)若an是一个等差数列{bn}的前n项和,求首项a1的值与数列{bn}的通项公式。

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试题答案

见解析。

试题解析

(1)∵数列{an}满足an+1=2an+n2﹣4n+1,

设an+1 +a(n+1)2+b(n+1)+c=2(an+an2+bn+c),即 an+1=2an+an2+(b﹣2a)n+c﹣a﹣b,

,即

∵a1+1﹣2=2,∴存在f(n)=n2﹣2n,使数列{an+f(n)}是等比数列,

∴an+n2﹣2n=2×2n﹣1

∴an=2n﹣n2+2n。

(2)若an是一个等差数列{bn}的前n项和,数列{an}满足an+1=2an+n2﹣4n+1,

即an+1+(n+1)2﹣2(n+1)=2(an+n2﹣2n),

∴(an+n2﹣2n)=(a1﹣1)•2n﹣1,an=﹣n2+2n+(a1﹣1)•2n﹣1

∴bn=

再根据{bn}是等差数列,∴a1=1,bn=﹣2n+3。

少年,再来一题如何?
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