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试题详情

某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:

①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;

②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;

③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;

④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;

⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°。

(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;

(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论。

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试题答案

见解析

试题解析

方法一:(1)选择②式,计算如下:

sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=

(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinα·cos(30°-α)=

证明如下:

sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)

=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα·(cos30°cosα+sin30°sinα)

=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinα·cosα-sin2α

sin2α+cos2α=

方法二:(1)同方法一。

(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinα·cos(30°-α)=

证明如下:

sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)

-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)

cos2α+(cos60°·cos2α+sin60°sin2α)-sinαcosα-sin2α

cos2α+cos2α+sin2α-sin2α-(1-cos2α)

少年,再来一题如何?
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