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试题详情

已知抛物线的方程为,直线的方程为,点A关于直线的对称点在抛物线上。

(1)求抛物线的方程;

(2)已知,求过点P及抛物线与x轴两个交点的圆的方程;

(3)已知点是抛物线的焦点,,M是抛物线上的动点,求的最小值及此时点M的坐标;

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试题答案

见解析。

试题解析

(1)设点A(3,-1)关于直线的对称点为B(x,y),

解得

把点B(1,3)代入,解得a = 4,

所以抛物线的方程为

(2)令=0得,设抛物线与x轴的两个交点从左到右

分别为C、D,则CD

显然△PCD是Rt△,所以PC为所求圆的直径,由此可得圆心坐标为

圆的半径

故所求圆的方程为

(3)

是抛物线的焦点,(0,-1)是抛物线的顶点,

∴抛物线的准线为

过点M作准线的垂线,垂足为A,由抛物线的定义知,

=,当且仅当P、M、A三点共线时“=”成立,

即当点M为过点P所作的抛物线准线的垂线与抛物线的交点时,取最小值,

这时点M的坐标为

少年,再来一题如何?
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