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试题详情

如下图,设椭圆的左右焦点分别为,点在椭圆上,的面积为.

(1)求该椭圆的标准方程;

(2)是否存在圆心在轴上的圆,使圆在轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求圆的方程,若不存在,说明理由.

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试题答案

见解析。

试题解析

(1)设,代入椭圆方程中求出,故,而

由已知:,联立解出

,联立解出

所以椭圆的标准方程为

(2)由于所求圆的圆心轴上,故圆和椭圆的两个交点关于轴对称,从而经过点所作的切线也关于轴对称,如上图所示。

当切线互相垂直时,设两条切线交于点,则恰好形成一个正方形。设圆心,圆的半径为,则由知:,另一方面由于为等腰直角三角形,故,所以,由几何关系

,因为

所以,再由,知

所以圆的方程为,经检验符合题设要求。

故存在这样的圆,其方程为

少年,再来一题如何?
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