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试题详情

设数列{}的前n项和为.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得,则称{}是“H数列。”

(1)若数列{}的前n项和=(n),证明:{}是“H数列”;

(2)设数列{}是等差数列,其首项=1.公差d0.若{}是“H数列”,求d的值;

(3)证明:对任意的等差数列{},总存在两个“H数列” {}和{},使得=(n)成立。

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试题答案

见解析。

试题解析

(1)证明:∵= ,∴==(n),又==2= ,∴(n)。      ∴存在m=n+1使得

(2)=1+(n-1)d ,若{}是“H数列”则对任意的正整数n,总存在正整数m,使得 。=1+(m-1)d成立。化简得m= +1+,且d0

又m , ,d,且为整数。

(3)证明:假设成立且设都为等差数列,则

n+=+(-1)=++1,

= ()同文= (

==k由题==+(-1)++(-1)

=()+(n-1)()=(n+k-1)

可得{}为等差数列。即可构造出两个等差数列{}

和{}同时也是“H数列”满足条件。

少年,再来一题如何?
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