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试题详情

已知函数f(x)=其中a是实数,设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点,且x1<x2.

(1)指出函数f(x)的单调区间;

(2)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2<0,证明:x2-x1≥1;

(3)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围。

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试题答案

见解析

试题解析

(1)函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),单调递增区间为[-1,0),(0,+∞)。

(2)由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为f′(x1),点B处的切线斜率为f′(x2),

故当点A处的切线与点B处的切线垂直时,有f′(x1)f′(x2)=-1.

当x<0时,对函数f(x)求导,得f′(x)=2x+2.

因为x1<x2<0,所以,(2x1+2)(2x2+2)=-1.

所以2x1+2<0,2x2+2>0.

因此x2-x1[-(2x1+2)+2x2+2]

=1.

(当且仅当-(2x1+2)=2x2+2=1,即时等号成立)

所以,函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时,有x2-x1≥1.

(3)当x1<x2<0或x2>x1>0时,f′(x1)≠f′(x2),故x1<0<x2.

当x1<0时,函数f(x)的图象在点(x1,f(x1))处的切线方程为y-(x12+2x1+a)=(2x1+2)(x-x1),即y=(2x1+2)x-x12+a.

当x2>0时,函数f(x)的图象在点(x2,f(x2))处的切线方程为y-ln x2(x-x2),即y=·x+ln x2-1.

两切线重合的充要条件是

由①及x1<0<x2知,0<<2.

由①②得,a=ln x2-1=.

,则0<t<2,且a=t2-t-ln t,

设h(t)=t2-t-ln t(0<t<2),

则h′(t)=t-1-<0.

所以h(t)(0<t<2)为减函数,

则h(t)>h(2)=-ln 2-1,

所以a>-ln 2-1.

而当t∈(0,2)且t趋近于0时,h(t)无限增大。

所以a的取值范围是(-ln 2-1,+∞)。

故当函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合时,a的取值范围是(-ln 2-1,+∞)。

少年,再来一题如何?
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