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试题详情

如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C四点共圆。

(1)证明:CA是△ABC外接圆的直径;

(2)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值。

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试题答案

见解析

试题解析

(1)因为CD为△ABC外接圆的切线,

所以∠DCB=∠A.

由题设知

故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA.

因为B,E,F,C四点共圆,

所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°。

所以∠CBA=90°,

因此CA是△ABC外接圆的直径。

(2)连结CE,因为∠CBE=90°,

所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE,

由DB=BE,有CE=DC,又BC2=DB·BA=2DB2,所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.

而DC2=DB·DA=3DB2,故过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.

少年,再来一题如何?
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