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试题详情

设函数f(x)=1+(1+a)x﹣x2﹣x3,其中a>0。

(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性;

(2)当x∈[0,1]时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值。

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试题答案

见解析

试题解析

(1)f(x)的定义域为(﹣∞,+∞),f′(x)=1+a﹣2x﹣3x2

由f′(x)=0,得x1=,x2=,x1<x2

∴由f′(x)<0得x<,x>

由f′(x)>0得<x<

故f(x)在(﹣∞,)和(,+∞)单调递减,

在()上单调递增;

(2)∵a>0,∴x1<0,x2>0,

(i)当a≥4时,x2≥1,由(Ⅰ)知,f(x)在[0,1]上单调递增,∴f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值。

(ii)当0<a<4时,x2<1,由(Ⅰ)知,f(x)在[0,x2]单调dz,在[x2,1]上单调递减,

因此f(x)在x=x2=处取得最大值,又f(0)=1,f(1)=a,

∴当0<a<1时,f(x)在x=1处取得最小值;

当a=1时,f(x)在x=0和x=1处取得最小值;

当1<a<4时,f(x)在x=0处取得最小值。

少年,再来一题如何?
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