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试题详情

设椭圆(a>b>0)的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.

(1)求椭圆的方程;

(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点,若··=8,求k的值。

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试题答案

(1)

(2)k=

试题解析

(1)设F(-c,0),由,知.

过点F且与x轴垂直的直线为x=-c,代入椭圆方程有,解得

于是,解得b=

又a2-c2=b2,从而a=,c=1,

所以椭圆的方程为.

(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2),由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1),

由方程组消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.

求解可得x1+x2,x1x2.

因为A(,0),B(,0),

所以··

=(x1,y1)·(-x2,-y2)+(x2,y2)·(-x1,-y1)

=6-2x1x2-2y1y2

=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)

=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2

.

由已知得=8,

解得k=.

少年,再来一题如何?
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