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试题详情

如图,四棱锥的底面ABCD是平行四边形,,AD=2,, E,F分别是棱AD,PC的中点.

(1) 证明: 平面PAB;

(2) 若二面角P-AD-B为

① 证明:平面PBC⊥平面ABCD

② 求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.

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试题答案

见解析

试题解析

(1)证明:如图所示,取PB中点M,连接MF,AM.因为F为PC中点,所以MF∥BC,且MF=BC.由已知有BC∥AD,BC=AD,又由于E为AD中点,因而MF∥AE且MF=AE,故四边形AMFE为平行四边形,所以EF∥AM.又AM⊂平面PAB,而EF⊄平面PAB,所以EF∥平面PAB.

(2) (i) 证明:连接PE,BE.因为PA=PD,BA=BD,而E为AD中点,所以PE⊥AD,BE⊥AD,所以∠PEB为二面角P  AD B的平面角,在△PAD中,由PA=PD=,AD=2,可解得PE=2.在△ABD中,由BA=BD=,AD=2,可解得BE=1.在△PEB中,PE=2,BE=1,∠PEB=60˚,由余弦定理,可解得PB=,从而∠PBE=90˚,即BE⊥PB.又BC∥AD,BE⊥AD,从而BE⊥BC,因此BE⊥平面PBC.又BE⊂平面ABCD,所以平面PBC⊥平面ABCD.

少年,再来一题如何?
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