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试题详情

给定数列a1,a2,…,an,对i=1,2,…,n-1,该数列的前i项的最大值记为Ai,后n-i项ai+1,ai+2,…,an的最小值记为Bi,di=Ai-Bi.

(1)设数列{an}为3,4,7,1,写出d1,d2,d3的值;

(2)设a1,a2,…,an(n≥4)是公比大于1的等比数列,且a1>0.证明:d1,d2,…,dn-1是等比数列;

(3)设d1,d2,…,dn-1是公差大于0的等差数列,且d1>0.证明:a1,a2,…,an-1是等差数列。

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试题答案

见解析

试题解析

(1)d1=2,d2=3,d3=6.

(2)因为a1>0,公比q>1,

所以a1,a2,…,an是递增数列。

因此,对i=1,2,…,n-1,Ai=ai,Bi=ai+1.

于是对i=1,2,…,n-1,

di=Ai-Bi=ai-ai+1=a1(1-q)qi-1.

因此di≠0且(i=1,2,…,n-2),

即d1,d2,…,dn-1是等比数列。

(3)设d为d1,d2,…,dn-1的公差。

对1≤i≤n-2,因为Bi≤Bi+1,d>0,

所以Ai+1=Bi+1+di+1≥Bi+di+d>Bi+di=Ai.

又因为Ai+1=max{Ai,ai+1},

所以ai+1=Ai+1>Ai≥ai.

从而a1,a2,…,an-1是递增数列。

因此Ai=ai(i=1,2,…,n-1)。

又因为B1=A1-d1=a1-d1<a1

所以B1<a1<a2<…<an-1.

因此an=B1.

所以B1=B2=…=Bn-1=an.

所以ai=Ai=Bi+di=an+di.

因此对i=1,2,…,n-2都有ai+1-ai=di+1-di=d,即a1,a2,…,an-1是等差数列。

少年,再来一题如何?
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