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试题详情

21.已知平面向量a=(–1),b=()。

(1)证明ab;

(2)若存在不同时为零的实数k和t,使x=a+ (t2–3)by=–ka+tb,且xy,试求函数关系式k=f(t);

(3)据(2)的结论,讨论关于t的方程f(t)–k=0的解的情况。

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试题答案

(1)证明:∵a·b==0,∴ab

(2)解:∵xy,∴x·y=0

即[a+(t2–3)b]·(–ka+tb)=0,整理后得

–ka2+[t–k(t2–3)]a·b+t(t2–3)·b2=0

a·b=0,a2=4,b2=1

∴上式化为–4k+t(t2–3)=0,∴k=t(t2–3).

(3)解:讨论方程t(t2–3)–k=0的解的情况,可以看作曲线f(t)=t(t2–3)与直线y=k的交点个数

于是f′(t)=(t2–1)=(t+1)(t–1).

令f′(t)=0,解得t1=–1,t2=1.当t变化时,f′(t),f(t)的变化情况如下表:

当t=–1时,f(t)有极大值,f(t)极大值=

当t=1时,f(t)有极小值,f(t)极小值=–.

而f(t)=(t2–3)t=0时,得t=–,0,

所以f(t)的图象大致如下:

于是当k>或k<–时,直线y=k与曲线y=f(t)仅有一个交点,则方程有一解;

当k=或k=–时,直线与曲线有两个交点,则方程有两解;当k=0,直线与曲线有三个交点,但k、t不同时为零,故此时也有两解;当–<k<0或0<k<时,直线与曲线有三个交点,则方程有三个解。

试题解析

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