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试题详情

在数列中,. 从数列中选出项并按原顺序组成的新数列记为,并称为数列项子列. 例如数列的一个4项子列.

(1)试写出数列的一个3项子列,并使其为等比数列;

(2)如果为数列的一个5项子列,且为等差数列,证明:的公差满足

(3)如果为数列的一个6项子列,且为等比数列,证明:.

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试题答案

见解析

试题解析

(1)解:答案不唯一. 如3项子列:.  ……………… 2分

(2)证明:由题意,知,所以 .…………… 4分

因为 , 所以 ,解得 . 所以.…………… 7分

(3)证明:由题意,设的公比为,则 .

因为的一个6项子列,所以 为正有理数,且.……………… 8分

,且互质,).

时,因为 ,所以

所以 .……………… 10分

时,因为 中的项,且互质,所以

所以

因为 ,所以 .

综上, .……………… 13分

少年,再来一题如何?
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