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试题详情

已知为正实数,为自然数,抛物线轴正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。

(1)用表示

(2)求对所有都有成立的的最小值;

(3)当时,比较

的大小,并说明理由。

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试题答案

见解析

试题解析

(1)由已知得,交点A的坐标为,对

则抛物线在点A处的切线方程为:

  

(2)由(1)知f(n)=,则

即知,对于所有的n成立,

特别地,当n=1时,得到a≥3

当a=3,n≥1时,

当n=0时,=2n+1.故a=3时对所有自然数n均成立.

所以满足条件的a的最小值为3. 

(3)由(1)知f(k)=

下面证明:

首先证明0<x<1时,

设函数g(x)=6x(x2-x)+1,0<x<1,  则.

时,g'(x)<0;   当

故g(x)在区间(0,1)上的最小值

所以,当0<x<1时,g(x)>0,即得

由0<a<1知

少年,再来一题如何?
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