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试题详情

如果存在常数使得数列满足:若是数列中的一项,则也是数列中的一项,称数列为“兑换数列”,常数是它的“兑换系数”.

(1)若数列:是“兑换系数”为的“兑换数列”,求的值;

(2)若有穷递增数列是“兑换系数”为的“兑换数列”,求证:数列的前项和

(3)已知有穷等差数列的项数是,所有项之和是,试判断数列是否是“兑换数列”?如果是的,给予证明,并用表示它的“兑换系数”;如果不是,说明理由.

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试题答案

见解析

试题解析

(1)因为数列:是“兑换系数”为的“兑换数列”

所以也是该数列的项,且----------1分

-------------------3分

。 -------------------4分

2)不妨设有穷数列的项数为

因为有穷数列是“兑换系数”为的“兑换数列”,

所以也是该数列的项,-------------------5分

又因为数列是递增数列

-------------------6分

-------------------8分

-------------------10分

(3)数列是“兑换数列”。证明如下:[来源:Z_xx_k.Com]

设数列的公差为因为数列是项数为项的有穷等差数列

,则

即对数列中的任意一项

-------------------12分

同理可得:若也成立,

由“兑换数列”的定义可知,数列是 “兑换数列”;-------------------14分

又因为数列所有项之和是,所以,即-------------------18分

少年,再来一题如何?
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