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试题详情

已知函数g(x)aln xx(a0).

25.求函数f (x)的单调区间;

26.证明:当a > 0时,对于任意x1x2∈(0,e],总有g(x1) < f (x2)成立,其中是自然对数的底数.

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试题答案

(1)当a>0时,f (x)的单调递增区间为(-1,1),单调递减区间为(-∞,-1),(1,+∞);

a<0时,f (x)的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞),单调递减区间为(-1,1);

(2)略;

试题解析

(Ⅰ)函数f (x)的定义域为Rf ′(x)=.

a>0时,当x变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表:

a<0时,当x变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表:

综上所述,

a>0时,f (x)的单调递增区间为(-1,1),单调递减区间为(-∞,-1),(1,+∞);

a<0时,f (x)的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞),单调递减区间为(-1,1).

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,当a>0时,f (x)在区间(0,1)上单调递增,f (x)>f (0)=a

f (x)在区间(1,e]上单调递减,且f (e)=a>a,所以当x∈(0,e]时,f (x)>a.

因为g(x)=aln xx,所以g′(x)=-1,令g′(x)=0,得xa.

①当a≥e时,g′(x)≥0在区间(0,e]上恒成立,

所以函数g(x)在区间(0,e]上单调递增,所以g(x)maxg(e)=a-e<a.

所以对于任意x1x2∈(0,e],仍有g(x1)<f(x2).

②当0<ag′(x)>0,得0<x<a;由g′(x)<0,得e≥x>a,所以函数g(x)在区间(0,a)上单调递增,在区间(a,e]上单调递减.所以g(x)maxg(a)=aln aa.

因为a-(aln aa)=a(2-ln a)>a(2-ln e)=a>0,

所以对任意x1x2∈(0,e],总有g(x1)<f (x2).

综上所述,对于任意x1x2∈(0,e],总有g(x1)<f (x2).

少年,再来一题如何?
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