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试题详情

如图,O为坐标原点,双曲线C1(a1>0,b1>0)和椭圆C2 (a2>b2>0)均过点,且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形。

(1)求C1,C2的方程;

(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且?证明你的结论。

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试题答案

见解析。

试题解析

(1)设C2的焦距为2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2.从而a1=1,c2=1.

因为点在双曲线上,

所以.故.

由椭圆的定义知.

于是.

故C1,C2的方程分别为.

(2)不存在符合题设条件的直线。

①若直线l垂直于x轴,因为l与C2只有一个公共点,所以直线l的方程为.

时,易知

所以.

此时,.

时,同理可知,.

②若直线l不垂直于x轴,设l的方程为y=kx+m.

得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.

当l与C1相交于A,B两点时,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,从而.

于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.

得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.

因为直线l与C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式Δ=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.

化简,得2k2=m2-3,因此

于是

,故.

综合①,②可知,不存在符合题设条件的直线。

在第(1)问中,利用已知条件结合图形以及双曲线、椭圆中a,b,c的几何意义,列出关于a1,b1,a2,b2的方程,得到它们的值,从而求出双曲线C1、椭圆C2的方程;在第(2)问中,首先对直线l的斜率进行分类讨论,当斜率k不存在时易得A,B两点的坐标,进而判断满足题设条件的直线l不存在;当斜率k存在时,可先设出l的方程,然后代入曲线方程,利用根与系数的关系并结合向量的运算,依此判断满足题设条件的直线l不存在。

少年,再来一题如何?
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