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试题详情

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,,PD=CD=2。

(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值;

(2)证明平面PDC⊥平面ABCD;

(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。

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试题答案

见解析

试题解析

(1)

如图,在四棱锥P-ABCD中,因为底面ABCD是矩形,所以AD=BC且AD∥BC,又因为AD⊥PD,故∠PAD为异面直线PA与BC所成的角。

在Rt△PDA中,

所以,异面直线PA与BC所成角的正切值为2。

(2)证明:由于底面ABCD是矩形,故AD⊥CD,又由于AD⊥PD,CD∩PD=D,因此AD⊥平面PDC,而AD平面ABCD,所以平面PDC⊥平面ABCD。

(3)在平面PDC内,过点P作PE⊥CD交直线CD于点E,连接EB。

由于平面PDC⊥平面ABCD,而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线。

故PE⊥平面ABCD,由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角。

在△PDC中,由于PD=CD=2,,可得∠PCD=30°。

在Rt△PEC中,PE=PCsin30°=

由AD∥BC,AD⊥平面PDC,得BC⊥平面PDC,

因此BC⊥PC。

在Rt△PCB中,

在Rt△PEB中,

所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为

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