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试题详情

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,延长A1C1至点P,使C1P=A1C1,连接AP交棱CC1于D。

(1)求证:PB1∥平面BDA1

(2)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;

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试题答案

见解析

试题解析

解法一:

(1)连结AB1与BA1交于点O,连结OD,

∵C1D∥平面AA1,A1C1∥AP,∴AD=PD,又AO=B1O,

∴OD∥PB1,又OD面BDA1,PB1面BDA1

∴PB1∥平面BDA1

(2)过A作AE⊥DA1于点E,连结BE,∵BA⊥CA,BA⊥AA1,且AA1∩AC=A,

∴BA⊥平面AA1C1C,由三垂线定理可知BE⊥DA1

∴∠BEA为二面角A-A1D-B的平面角。

在Rt△A1C1D中,

,∴

在Rt△BAE中,,∴

故二面角A-A1D-B的平面角的余弦值为

解法二:

如图,以A1为原点,A1B1,A1C1,A1A所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系A1-B1C1A,则

(1)在△PAA1中有,即

设平面BA1D的一个法向量为

,则

∴PB1∥平面BA1D,

(2)由(1)知,平面BA1D的一个法向量

为平面AA1D的一个法向量,∴

故二面角A-A1D-B的平面角的余弦值为

少年,再来一题如何?
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