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试题详情

如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,∠ABC=120°,G为线段PC上的点。

(1)证明:BD⊥平面APC;

(2)若G为PC的中点,求DG与平面APC所成的角的正切值;

(3)若G满足PC⊥平面BGD,求的值。

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试题答案

见解析

试题解析

(1)设点O为AC,BD的交点。

由AB=BC,AD=CD,得BD是线段AC的中垂线。

所以O为AC的中点,BD⊥AC.

又因为PA⊥平面ABCD,BD平面ABCD,

所以PA⊥BD.

所以BD⊥平面APC.

(2)连结OG.由(1)可知OD⊥平面APC,则DG在平面APC内的射影为OG,所以∠OGD是DG与平面APC所成的角。

由题意得OG=PA=.

在△ABC中,

AC=

所以OC=AC=.

在直角△OCD中,OD==2.

在直角△OGD中,tan∠OGD=.

所以DG与平面APC所成的角的正切值为.

(3)连结OG.因为PC⊥平面BGD,OG平面BGD,所以PC⊥OG.

在直角△PAC中,得PC=.

所以GC=.

从而PG=

所以

少年,再来一题如何?
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