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试题详情

已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程;

(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|。

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试题答案

(1)(x≠-2)

(2)|AB|=或|AB|=

试题解析

由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.

(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,

所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.

由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为(x≠-2)。

(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,

所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.

所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.

若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=.

若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4)。

由l与圆M相切得=1,解得k=.

当k=时,将代入,并整理得7x2+8x-8=0,解得x1,2

所以|AB|=|x2-x1|=.

当k=时,由图形的对称性可知|AB|=.

综上,|AB|=或|AB|=.

少年,再来一题如何?
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