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试题详情

已知点在抛物线上,直线R,且与抛物线

相交于两点,直线分别交直线于点.

(1)求的值;

(2)若,求直线的方程;

(3)试判断以线段为直径的圆是否恒过两个定点?若是,求这两个定点的坐标;若

不是,说明理由。

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试题答案

见解析。

试题解析

(1):∵点在抛物线上,   ∴.

解法1:(2)由(1)得抛物线的方程为.

设点的坐标分别为,依题意,

消去

解得.

.

直线的斜率

故直线的方程为.

,得,∴点的坐标为.

同理可得点的坐标为.

.

,     ∴.

,得

解得, 或,

∴直线的方程为,或.

(3)设线段的中点坐标为

.

∴以线段为直径的圆的方程为.

展开得.

,得,解得.

∴以线段为直径的圆恒过两个定点.

解法2:(2)由(1)得抛物线的方程为.

设直线的方程为,点的坐标为

解得

∴点的坐标为.

消去,得

,解得.

.

∴点的坐标为.

同理,设直线的方程为

则点的坐标为,点的坐标为.

∵点在直线上,

.

.

,得

化简得.

.

.

解得.

∴直线的方程为,或.

(3)设点是以线段为直径的圆上任意一点,

整理得,.

,得,解得.

∴ 以线段为直径的圆恒过两个定点.

少年,再来一题如何?
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