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试题详情

已知函数.其中.

(1)若曲线y=f(x)与y=g(x)在x=1处的切线相互平行,求两平行直线间的距离;

(2)若f(x)≤g(x)-1对任意x>0恒成立,求实数a的值;

(3)当a<0时,对于函数h(x)=f(x)-g(x)+1,记在h(x)图象上任取两点A、B连线的斜率为,若,求a的取值范围.

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试题答案

见解析

试题解析

(1),依题意得:a=2; ……………2分

曲线y=f(x)在x=1处的切线为2x-y-2=0,

曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为2x-y-1=0. ……………3分

两直线间的距离为……………4分

(2)令h(x)=f(x)-g(x)+1, ,则

当a≤0时, 注意到x>0, 所以<0, 所以h(x)在(0,+∞)单调递减, ………………5分

又h(1)=0,故0<x<1时,h(x)>0,即f(x)> g(x)-1,与题设矛盾. ……………6分

当a>0时,

,时,

所以h(x)在上是增函数,在上是减函数, ……………8分

∴h(x)≤

因为h(1)=0,又当a≠2时,≠1,不符.

所以a=2.  ……………9分

(3)当a<0时,由(2)知<0,∴h(x)在(0,+∞)上是减函数,

不妨设0<x1≤x2,则|h(x1)-h(x2)|=h(x1)-h(x2),|x1-x2|=x2-x1, ……………10分

∴|h(x1)-h(x2)|≥|x1-x2

等价于h(x1)-h(x2)≥x2-x1,即h(x1)+x1≥h(x2)+x2, ……………11分

令H(x)=h(x)+x=alnx-x2+x+1,H(x)在(0,+∞)上是减函数,

 (x>0), ……………12分

∴-2x2+x+a≤0在x>0时恒成立,∴a≤(2x2-x)min ……………13分

又x>0时, (2x2-x)min=

∴a≤-,又a<0,∴a的取值范围是.  ……………14分

少年,再来一题如何?
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