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试题详情

如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区,规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m,经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),

(1)求新桥BC的长;

(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?

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试题答案

见解析。

试题解析

解法一:

(1)

如图,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy.

由条件知A(0, 60),C(170, 0),

直线BC的斜率k BC=-tan∠BCO=-.

又因为AB⊥BC,所以直线AB的斜率k AB=.

设点B的坐标为(a,b),则k BC=

k AB=

解得a=80,b=120. 所以BC=.

因此新桥BC的长是150 m.

(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m,(0≤d≤60)。

由条件知,直线BC的方程为,即

由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d)到直线BC的距离是r,

.

因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,

所以解得

故当d=10时,最大,即圆面积最大.

所以当OM = 10 m时,圆形保护区的面积最大.

解法二:

(1)

如图,延长OA, CB交于点F.

因为tan∠BCO=.所以sin∠FCO=,cos∠FCO=.

因为OA=60,OC=170,所以OF=OC tan∠FCO=.

CF=,从而.

因为OA⊥OC,所以cos∠AFB=sin∠FCO==

又因为AB⊥BC,所以BF=AF cos∠AFB==,从而BC=CF-BF=150.

因此新桥BC的长是150 m.

(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D,连接MD,则MD⊥BC,且MD是圆M的半

径,并设MD=r m,OM=d m(0≤d≤60)。

因为OA⊥OC,所以sin∠CFO =cos∠FCO,

故由(1)知,sin∠CFO =所以.

因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,

所以解得

故当d=10时,最大,即圆面积最大.

所以当OM = 10 m时,圆形保护区的面积最大.

少年,再来一题如何?
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