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试题详情

已知圆C与两圆外切,圆C的圆心轨迹方程为L,设L上的点与点的距离的最小值为,点与点的距离为.

(1)求圆C的圆心轨迹L的方程;

(2)求满足条件的点的轨迹Q的方程;

(3)试探究轨迹Q上是否存在点,使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于。若存在,请求出点B的坐标;若不存在,请说明理由。

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试题答案

见解析。

试题解析

(1)两圆半径都为1,两圆心分别为,由题意得,可知圆心C的轨迹是线段的垂直平分线,的中点为,直线的斜率等于零,故圆心C的轨迹是线段的垂直平分线方程为,即圆C的圆心轨迹L的方程为

(2)因为,所以到直线的距离与到点的距离相等,故点的轨迹Q是以为准线,点为焦点,顶点在原点的抛物线,,即,所以,轨迹Q的方程是

(3)由(2)得,所以过点B的切线的斜率为,切线方程为,令,令

因为点B在上,所以

所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为

,即,所以

时,,当时,

所以点B的坐标为.

少年,再来一题如何?
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