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试题详情

20.已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点

(1)求圆的圆心坐标;

(2)求线段的中点的轨迹的方程;

(3)是否存在实数,使得直线与曲线只有一个交点?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由。

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试题答案

(1)圆C1:X2+Y2-6X+5=0化为,所以圆C1的圆心坐标为(3,0)

(2)设线段AB的终点M(x0,y0),由圆的性质可得C1M垂直于直线L

设直线L的方程为y=mx,所以,

所以

因为动直线L与圆C1相交,所以所以m2<

所以,所以,解得,又因为,所以

所以满足

的轨迹的方程为

(3)由题意知直线表示过定点,斜率为的直线。

结合图形,表示的是一段关于X轴对称,起点为按逆时针方向运动到的圆弧.根据对称性,只需讨论在X轴对称下方的圆弧.设,则,而当直线与轨迹相切时,,解得.在这里暂取,因为,所以

结合图形,可得对于X轴对称下方的圆弧,当时,直线L与X轴对称下方的圆弧有且只有一个交点,根据对称性可知

综上所述:当时,直线L:与曲线只有一交点。

试题解析

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