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试题详情

已知双曲线C:(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y=2与C的两个交点间的距离为.

(1)求a,b;

(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列。

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试题答案

见解析。

试题解析

(1)解:由题设知,即,故b2=8a2.

所以C的方程为8x2-y2=8a2.

将y=2代入上式,并求得.

由题设知,,解得a2=1.

所以a=1,.

(2)证明:由(1)知,F1(-3,0),F2(3,0),C的方程为8x2-y2=8.①

由题意可设l的方程为y=k(x-3),,代入①并化简得(k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则

x1≤-1,x2≥1,x1+x2,x1·x2.

于是|AF1|=

=-(3x1+1),

|BF1|=

=3x2+1.

由|AF1|=|BF1|得-(3x1+1)=3x2+1,

即x1+x2.

解得,从而x1·x2.

由于|AF2|=

=1-3x1

|BF2|=

=3x2-1,

故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4,

|AF2|·|BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16.

因而|AF2|·|BF2|=|AB|2,所以|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列。

少年,再来一题如何?
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