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试题详情

某村庄拟修建一个屋盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为米,高为米,体积为立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为元/平方米,底面的建造成本为元/平方米,该蓄水池的总建造成本为为圆周率)。

(1)将表示成的函数,并求该函数的定义域;

(2)讨论函数的单调性,并确定为何值时该蓄水池的体积最大。

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试题答案

见解析

试题解析

(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh=200πrh元,底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元。

又据题意200πrh+160πr2=12 000π,

所以h=(300-4r2),

从而V(r)=πr2h=(300r-4r3)。

因r>0,又由h>0可得

故函数V(r)的定义域为(0,)。

(2)因V(r)=(300r-4r3),

故V′(r)=(300-12r2)。

令V′(r)=0,解得r1=5,r2=-5(因r2=-5不在定义域内,舍去)。

当r∈(0,5)时,V′(r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数;

当r∈(5,)时,V′(r)<0,故V(r)在(5,)上为减函数。

由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8.

即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大。

少年,再来一题如何?
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