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试题详情

请考生在第 22、 23、 24三题中任选一题做答。注意:只能做选定的题目。如果多做,则按所做的第一题计分。

22.选修 4-1:几何证明选讲

如图所示,已知与⊙相切,为切点,过点的割线交圆于两点,弦相交于点上一 点,且

Ⅰ.求证:

Ⅱ.若的长.

23. 选修 4-4:坐标系与参数方程

在极坐标系下,已知圆和直线

Ⅰ.求圆和直线的直角坐标方程;

Ⅱ.当时,求直线与圆公共点的一个极坐标。

24. 选修 4-5:不等式选讲

设函数

Ⅰ.解不等式

Ⅱ.已知关于的不等式恒成立,求实数的取值范围。

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试题答案

22.答案:(I)证明:∵DE2=EF•EC,∠DEF公用,

∴△DEF∽△CED,∴∠EDF=∠C.又∵弦CD∥AP,∴∠P=∠C,

∴∠EDF=∠P,∠DEF=∠PEA ∴△EDF∽△EPA.

,∴EA•ED=EF•EP.又∵EA•ED=CE•EB,

∴CE•EB=EF•EP .

(II)∵DE2=EF•EC,DE=3,EF=2. ∴32=2EC,∴

∵CE:BE=3:2,∴BE=3.

由(I)可知:CE•EB=EF•EP,∴,解得EP=

∴BP=EP﹣EB=. ∵PA是⊙O的切线,∴PA2=PB•PC,

,解得

23.(Ⅰ)圆O:ρ=cosθ+sinθ,即ρ2=ρcosθ+ρsinθ,

所以圆O的直角坐标方程为:x2+y2=x+y,即x2+y2﹣x﹣y=0.

直线,即ρsinθ﹣ρcosθ=

也就是ρsinθ﹣ρcosθ=1.

则直线l的直角坐标方程为:y﹣x=1,即x﹣y+1=0.

(Ⅱ)由,得

故直线l与圆O公共点为(0,1),该点的一个极坐标为

24.(Ⅰ)∵f(x)=|2x+1|﹣|x﹣3|=

∴①当x<﹣时,﹣x﹣4>0,∴x<﹣4;

②当﹣≤x≤3时,3x﹣2>0,∴<x≤3;

③当x>3时,x+4>0,∴x>3.

综上所述,不等式f(x)>0的解集为:(﹣∞,﹣4)∪(,+∞)(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=

∴当x≤﹣时,﹣x﹣4≥﹣;当﹣<x<3时,﹣<3x﹣2<7;

当x≥3时,x+4≥7,综上所述,f(x)≥﹣

∵关于x的不等式a+3<f(x)恒成立,∴a<f(x)﹣3恒成立,

令g(x)=f(x)﹣3,则g(x)≥﹣

∴g(x)min=﹣.∴a<g(x)min=﹣

试题解析

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