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试题详情

设M是由满足下列条件的函数构成的集合:“①方程有实数根;②函数的导数满足”。

(1)判断函数是否是集合M中的元素,并说明理由;

(2)集合M中的元素具有下面的性质:若的定义域为D,则对于任意[m,n]D,都存在[m,n],使得等式成立”,试用这一性质证明:方程只有一个实数根;

(3)设是方程的实数根,求证:对于定义域中任意的,当,且时,

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试题答案

见解析。

试题解析

(1)因为

所以,满足条件.

又因为当时,,所以方程有实数根

所以函数是集合M中的元素。

(2)假设方程存在两个实数根),

不妨设,根据题意存在数

使得等式成立,

因为,所以,与已知矛盾,

所以方程只有一个实数根;

(3)不妨设,因为所以为增函数,所以

又因为,所以函数为减函数,

所以

所以,即

所以

少年,再来一题如何?
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