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试题详情

若函数h(x)满足

①h(0)=1,h(1)=0;

②对任意a∈[0,1],有h(h(a))=a;

③在(0,1)上单调递减。

则称h(x)为补函数,已知函数(λ>-1,p>0)。

(1)判断函数h(x)是否为补函数,并证明你的结论;

(2)若存在m∈[0,1],使h(m)=m,称m是函数h(x)的中介元,记(n∈N)时h(x)的中介元为xn,且,若对任意的n∈N,都有,求λ的取值范围;

(3)当λ=0,x∈(0,1)时,函数y=h(x)的图像总在直线y=1-x的上方,求p的取值范围。

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试题答案

见解析

试题解析

(1)函数h(x)是补函数,证明如下:

②对任意a∈[0,1],有

③令g(x)=(h(x))p,有

因为λ>-1,p>0,所以当x∈(0,1)时,g′(x)<0,

所以函数g(x)在(0,1)上单调递减,故函数h(x)在(0,1)上单调递减。

(2)当(n∈N)时,由h(x)=x,得.(*)

(ⅰ)当λ=0时,中介元

(ⅱ)当λ>-1且λ≠0时,

由(*)得;得中介元.

综合(ⅰ)(ⅱ),对任意的λ>-1,中介元为(n∈N),于是,当λ>-1时,有

当n无限增大时,无限接近于0,Sn无限接近于

故对任意的n∈N成立等价于,即λ∈[3,+∞)。

(3)当λ=0时,,中介元为

(ⅰ)当0<p≤1时,,中介元为

所以点(xp,h(xp))不在直线y=1-x的上方,不符合条件;

(ⅱ)当p>1时,依题意只须在x∈(0,1)时恒成立,

即xp+(1-x)p<1在x∈(0,1)时恒成立,

设φ(x)=xp+(1-x)p,x∈[0,1],

则φ′(x)=p[xp-1-(1-x)p-1],

由φ′(x)=0得,且当x∈(0,)时,φ′(x)<0,当x∈(,1)时,φ′(x)>0,

又因为φ(0)=φ(1)=1,所以当x∈(0,1)时,φ(x)<1恒成立。

综上,p的取值范围是(1,+∞)。

少年,再来一题如何?
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