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试题详情

已知函数,其中a∈R。

(1)若a=2,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)求f(x)在区间[2,3]上的最大值和最小值。

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试题答案

见解析

试题解析

(1)解:f(x)的定义域为R,且 f'(x)=2x2﹣4x+2﹣a,当a=2时,,f'(1)=﹣2,

所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 ,即 6x+3y﹣5=0.(4分)

(2)解:方程f'(x)=0的判别式为△=(﹣4)2﹣4×2×(2﹣a)=8a。

1)当a≤0时,f'(x)≥0,所以f(x)在区间(2,3)上单调递增,所以f(x)在区间[2,3]

上的最小值是;最大值是f(3)=7﹣3a。

2)当a>0时,令f'(x)=0,得 ,或,f(x)和f'(x)的情况如下:

故f(x)的单调增区间为;单调减区间为

①当0<a≤2时,x2≤2,此时f(x)在区间(2,3)上单调递增,所以f(x)在区间[2,3]

上的最小值是;最大值是f(3)=7﹣3a。

②当2<a<8时,x1<2<x2<3,此时f(x)在区间(2,x2)上单调递减,在区间(x2,3)上单调递增,

所以f(x)在区间[2,3]上的最小值是

因为

所以 当时,f(x)在区间[2,3]上的最大值是f(3)=7﹣3a;当时,f(x)在区间[2,3]上的最大值是

③当a≥8时,x1<2<3≤x2,此时f(x)在区间(2,3)上单调递减,

所以f(x)在区间[2,3]上的最小值是f(3)=7﹣3a;最大值是

综上可得,

当a≤2时,f(x)在区间[2,3]上的最小值是,最大值是7﹣3a;

时,f(x)在区间[2,3]上的最小值是,最大值是7﹣3a;

时,f(x)在区间[2,3]上的最小值是,最大值是

当a≥8时,f(x)在区间[2,3]上的最小值是7﹣3a,最大值是

少年,再来一题如何?
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