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试题详情

已知函数,其中为自然对数的底数。

(1)设是函数的导函数,求函数在区间上的最小值;

(2)若,函数在区间内有零点,求的取值范围

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试题答案

(1)在区间上的最小值为

(2)的取值范围为

试题解析

(1)因为 所以  又

因为  所以:

①若,则

所以函数在区间上单增,

②若,则

于是当,当

所以函数在区间上单减,在区间上单增,

③若,则

所以函数在区间上单减,

综上:在区间上的最小值为

(2)由,又

若函数在区间内有零点,则函数在区间内至少有三个单调区间

由(1)知当时,函数在区间上单调,不可能满足“函数在区间内至少有三个单调区间”这一要求。

,则

。由

所以在区间上单增,在区间上单减

恒成立

于是,函数在区间内至少有三个单调区间

  所以

综上,的取值范围为

少年,再来一题如何?
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