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试题详情

对于数列,定义“变换”:将数列变换成数

,其中,且,这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”,得到数列,…,依此类推,当得到的数列各项均为时变换结束。

(1)试问经过不断的“变换”能否结束?若能,请依次写出经过“变换”得到的各数列;若不能,说明理由;

(2)求经过有限次“变换”后能够结束的充要条件;

(3)证明:一定能经过有限次“变换”后结束。

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试题答案

见解析

试题解析

(1)解:数列不能结束,各数列依次为

;…,从而以下重复出现,不会出现所有项均为的情形。

数列能结束,各数列依次为

(2)解:经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是

,则经过一次“变换”就得到数列,从而结束。

当数列经过有限次“变换”后能够结束时,先证命题“若数列为常数列,则为常数列”。

时,数列

由数列为常数列得,解得,从而数列

为常数列。

其它情形同理,得证。

在数列经过有限次“变换”后结束时,得到数列(常数列),由以上命题,它变换之前的数列也为常数列,可知数列也为常数列。

所以,数列经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是

(3)证明:先证明引理:“数列的最大项一定不大于数列的最大项,其中”。

证明:记数列中最大项为,则

,其中

因为,  所以

,证毕。

现将数列分为两类。

第一类是没有为的项,或者为的项与最大项不相邻(规定首项与末项相邻),此时由引理可知,。   

第二类是含有为的项,且与最大项相邻,此时

下面证明第二类数列经过有限次“变换”,一定可以得到第一类数列。

不妨令数列的第一项为,第二项最大(),(其它情形同理)

① 当数列中只有一项为时,

(),则,此数列各项均不为

或含有项但与最大项不相邻,为第一类数列;

,则

此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻,为第一类数列;

(),则,此数列各项均不为,为第一

类数列;

,则

此数列各项均不为,为第一类数列。

② 当数列中有两项为时,若(),则,此数列

各项均不为,为第一类数列;

(),则,此数列

各项均不为或含有项但与最大项不相邻,为第一类数列。

③ 当数列中有三项为时,只能是,则

,此数列各项均不为,为第一类数列。

总之,第二类数列至多经过次“变换”,就会得到第一类数列,即至多连续经历次“变换”,数列的最大项又开始减少。

又因为各数列的最大项是非负整数,

故经过有限次“变换”后,数列的最大项一定会为,此时数列的各项均为,从而结束。

少年,再来一题如何?
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