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试题详情

已知等差数列的通项公式为,等比数列中,,记集合,把集合中的元素按从小到大依次排列,构成数列

(1)求数列的通项公式,并写出数列的前项;

(2)把集合中的元素从小到大依次排列构成数列,求数列的通项公式,并说明理由;

(3)求数列的前项和

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试题答案

见解析

试题解析

(1)解:设等比数列的公比为

,则,     ………………2分

数列的前项为,数列的前项为

数列的前项为;……………3分

(2)解:据集合中元素,猜测数列的通项公式为,……4分

只需证明数列中,

证明如下:

,即

,使,那么,所以,若,则,因为,重复使用上述结论,即得

同理,,即,因为“”数列的公差的整数倍,所以说明同时属于或同时不属于

时,显然,即有,重复使用上述结论,

即得; ………………………8分

(3)解:(1)当时,所以因为,所以;        ………………9分

(2)当时,由(2)知,数列中,,则,且,使得

,………11分

下面讨论正整数的关系:

数列中的第项不外如下两种情况:

或者②

若①成立,即有

若②成立,即有

或者

显然,所以

综上所述,。………………14分

少年,再来一题如何?
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